1. ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННАЯ МЕТРИКА

В четырехмерном римановом пространстве общее выражение для интерваламежду двумя событиями выражается производными

следующим образом:

(1.1.1)

где— свободные индексы (а не обозначения степеней), и, кроме того, принято обычное правило суммирования (повторяющийся свободный индекс предполагает суммирование по всем его значениям 0, 1,2, 3). Таким образом, выражение (1.1.1) представляет собой сумму 16 членов. Значения— функции координат; они определяют собой метрику пространства.

В соответствии с общей теорией относительности эта метрика зависит от распределения материи; значенияудовлетворяют некоторым дифференциальным уравнениям в частных производных, известным как уравнения Эйнштейна. Такая метрика называется пространственно-временной.

Последовательность координат движущейся частицы описывает ее «мировую линию», в частности, мировая линия частицы, свободно перемещающейся в гравитационном поле, называется геодезической.

Для наших целей достаточно ограничиться рассмотрением статического сферически симметричного поля, создаваемого единственной изолированной массой. Отождествимс пространственными координатами относительно центра симметрии, авременной координатой, обозначив ее через t. Предположение о статичности поля подразумевает, что значенияне являются функциями t, а радиальный масштаб может быть определен как произвольная функция радиуса. Поскольку этот масштаб выбран, дифференциальные уравнения, описывающие геодезическую, заданы полностью.

Тем не менее остается свободным еще выбор пространства координатчто эквивалентно выбору геометрической проекции при построении двухмерных карт. Аткинсон [8] показал, что релятивистские свойства сферически симметричного поля можно строго описать в рамках трехмерного евклидова пространства, поскольку предположение о сферической симметрии подразумевает неизменность вида метрики при евклидовых преобразованиях пространственных координат.

Принимая такую точку зрения, мы определяем евклидово пространство тремя взаимно ортогональными декартовыми осями с началом в центре симметрии; эта система координат описывает покоящуюся систему отсчета. Определим координатный вектор х и координатную скоростькак трехмерные евклидовы векторы, компоненты которых соответствен

Если— единичный вектор в направлении х, то наиболее

общее выражение интервалав случае статического сферически симметричного поля имеет вид

(1.1.2)

где— константа,— функции радиуса (в этойформуле и далее все индексы — показатели степени).

Рассмотрим только так называемые временноподобные интервалы, для которых в этом случае т называется «собственным» временем. Аткинсон [9] показал, что уравнения Эйнштейна приводят к двум соотношениям между коэффициентами формулы (1.1.2), которые в наших обозначениях таковы:

Интересные статьи:

Млечный путь
Суть Млечного пути МЛЕЧНЫЙ ПУТЬ, туманное свечение на ночном небе от миллиардов звезд нашей Галактики. Полоса Млечного Пути опоясывает небосвод широким кольцом. Особенно хорошо Млечный Путь виден вдали от городских огней. В Северном полуш ...

Созвездие Рак
Общие сведения о созвездии Рака Рак (лат. Cancer) — самое неприметное зодиакальное созвездие, которое можно увидеть лишь в ясную ночь между созвездиями Льва и Близнецов. Наиболее яркая звезда имеет блеск 3,53 визуальной звёздной величи ...

Солнце - уникальная звезда
Введение Солнце играет исключительную роль в жизни Земли. Солнце не только источник света и тепла, но и первоначальный источник многих других видов энергии (энергии нефти, угля, воды, ветра). Всего одна пятисот миллионная часть энергии С ...