Мы показали, что общее выражение (1.1.2) с помощью формул (1.1.3) и (1.1.4) может быть приведено к шварцшильдовой форме (1.1.12) путем чисто алгебраического преобразования соотношения (1.1.8). Таким образом, уравнения, выведенные с использованием метрики Шварцшильда, можно преобразовать к некоторой общей сферически симметричной метрике.

1.3 Изотропные координаты

Рассмотрим систему координат, определяемую формулой

В соответствии с (1.1.3), получаем

Дифференцируя (1.1.14) по, находим

Следовательно, по (1.1.4) имеем

или

и выражение (1.1.2) для элементапринимает вид

Это выражение известно как изотропная форма метрики Шварцшильда, поскольку, приняв в, можно найти, что координатная

скорость света в точке х, задаваемая формулой

одинакова во всех направлениях.

2. УРАВНЕНИЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ

Можно показать (см. Приложение В), что уравнения, определяющие геодезические, выводятся из обычных уравнений Эйлера — Лагранжа, которые в координатах Шварцшильда имеют вид

где— лагранжиан,

а точка сверху обозначает дифференцирование по

Уравнение (1.2.1) дает непосредственно

Или

где— постоянная интегрирования.

Формула (1.2.2) приводит к следующему выражению, вывод которого содержится в Приложении В:

Умножая (1.2.2) векторно на, получаем

вследствие того чтоТаким образом,

где Н — постоянная, а h — постоянный единичный вектор. Из последнего уравнения следует, что геодезическая лежит в плоскости, перпендикулярной h, а угловой момент по отношению к собственному времени остается неизменным. Угловой момент постоянен только в координатах Шварцшильда. В произвольной метрике, для которой уравнение (1.2.6) имеет вид

правая часть которого не является постоянной, поскольку x — функция

При этих условиях (1.2.6) эквивалентно уравнению

Интересные статьи:

Солнце, его физические характеристики и воздействие на магнитосферу Земли
Введение На страницах научной литературы в последнее время часто встречается термин солнечно-земная физика, смысл которого каждый специалист понимает по-своему. Систематически используют этот термин специалисты, занимающиеся физикой Солн ...

Мир галактик
ВВЕДЕНИЕ Галактики – гигантские звездные острова, находящиеся за пределами нашей звездной системы (нашей Галактики). Они очень разнообразны по своим размерам, внешнему виду и составу. Различие меду галактиками разных типов объясняется ка ...

Проблема тепловой смерти Вселенной
Введение В данной работе мы поговорим о будущем нашей Вселенной. О будущем очень далеком, настолько, что неизвестно, наступит ли оно вообще. Жизнь и развитие науки существенно меняют наши представления и о Вселенной, и об ее эволюции, и ...